数学作为基础学科，是每一个受教育者必须接受的文化教育。数学对诸多其它学科如物理学、生物学、化学、经济学、地理起到直接利用的工具作用，对所有学科起到间接使用的启迪作用，还是对人的智慧发展、品质培养以及情感、世界观的形成起到导引作用。这是由于数学是从量的侧面认知事物，而量又是具有普遍存在性的，所以数学是贯穿于人类知识体系与人类社会发展的历史地、辩证的、广泛的、与时俱进的学科。它的教学价值与教育的重要性不言而喻。
学前教育中的数学，是对量的感知。学习阿拉伯数字，对0、1、2、……8、9的个体认识记忆，就像记住欧氏几何二十三个定义、五大公设与五大公理一样，是基础之基础。生活中物体个数的数字认知就是从量（即个数）的侧面认知事物。而数数，则或多或少地是发现规律及依次增大，例如数苹果，一个、两个、三个……从表示苹果多少的量，抽象出数的增大这一数列（或函数）单调增加，便是数学学习的一大进步。运算，则是更高能力层次的要求。当然了，对球、三角形、四边形及组合图形等的认知，如玩积木，又是几何图形的认知。
小学数学在学前数学教学基础上，扩充了自然数的掌握个数，由带余除法到小数则更是数系的扩张。小学生对时间、长度、面积、体积、质量、货币等也更为量化。而对三角形、平行四边形、圆形以及圆柱、圆锥的认识，基本性质、面积、体积公式的学习和对这些公式的验证或证明，是几何上的突破。再像找规律，无疑是数列、函数问题的雏形（小学对正比、反比教学也渗透了函数，甚至还出现了图象）。而小学数学尤其是奥数中，数论、概率论与数理统计的初步研究也对学生数学全面发展、启迪智慧益处很多。
初中数学，在深度、广度、难度和严谨度上要求更高。同样，从有理数到实数，数系再度扩张。对于百万、千万、亿及千分之一、万分之一的认识，又是一个提高。运算方面，乘方、开方、三角式也已引入。代数的教授也使数学抽象色彩更为浓厚、普适特点和严密性更为突出。至于几何，我认为它在初中数学中比代数等更为深入，难度更大，因其要求更高，发挥的余地很大。初中几何之中心，是欧几里得几何。例如相似与全等的对立统一，三角形内角和为180度等，都是依赖于以欧几里得几何为出发点。在图形物理量的计算上，几乎没有上升到新的层次。在概率、统计上，学生的理论与实践能力得到可观的进展。其中，加权平均数就是数学期望的简体，方差又与最小二乘法密切关联。要说初中数学最大的提升点，非函数莫属。一次函数、反比例函数、二次函数的性质、应用的学习，从中学教学结构讲，对高中更复杂的函数与更多问题起铺垫作用。而更客观的说，这是对“从量的侧面认知事物”更好的诠释。联系、变化、发展、预测的思想内涵以此传授给学生。但三角函数，在初中范围只能用于数形结合解（直角）三角形。而近年来，函数教学越来越重视函数思想的培养。初、高中都有函数新定义或新函数的探究式考查。
从初中到高中，数学的梯度大幅提升。学生不难发现，所谓一次函数、反比例函数、二次函数都是幂函数或几个幂函数与常值函数的复合。甚至只是限于负一次、一次、二次这一最简范围，尤其是从微积分角度讲，更是简单。而对数运算与对数函数、指数函数、幂函数、常值函数、三角函数、反三角函数（可能还会有双曲函数）蜂拥而至，尤其是三角函数的大容量讲学，使学生在存在困难的接受的同时，也深切感受到数学尤其是函数的丰富性、多样性与普适、实用性。而几何方面从平面几何拓展定理，并发展成为平面解析几何、立体几何。数形结合思想大有用武之地。代数方面，复杂运算与公式迭增，如牛顿二项式定理。数列知识也有较高的要求，与级数可以衔接。概率统计上，排列组合、几种概型、数据分析知识点也非常多。在高中数学的一些课本中，矩阵、算法、复数和微积分也有所讲解。但从课改前的要求来看，基本不考查矩阵、算法及微积分中除导数以外的部分等。
到了大学，高等数学（通常可以狭义地理解为积分）、概率论、数理统计学、数学逻辑、分析数学、微分方程、计算数学、线性代数、运筹学、控制论、信息论等诸多数学学科与数理经济学、生物数学、数学物理等复合学科，以及更加细微分化的数学应用学科，如非线性光学，分析力学，计算机科学等等，都与数学不可分割。对于大多数学生讲，高数是最基础的公共课程。从函数、极限、导数、微分、定积分、不定积分、微分方程到多元函数的导数、全微分、偏导数、多重积分，还有矩阵、立体解析几何、概率论、数理统计学，都是必备的数学知识。数学建模思想凸显。
审视数学教学历程，与人类的数学史大致吻合（当然也有一定的区别，如历史上先有对数后又乘方，而且是以1/e为底的对数）。因而数学教育者，应当秉承发展的观念，以历史观为基础，注重学用结合，融会贯通，用辩证法教导学生。知识不是独立的点，而是连成一片的网，是推理演绎着的流水，流向更深邃的远方。
但是，当今教学者虽大都可以完整、严谨、关联地传授数学，但数学式的渗透并不容乐观。而数学文化品格的教育更是匮乏。曾在教学研讨文章上看到，一位高三教师对于一道解三角形的题目，缜密地运用多种方法解题，快速而不慌乱，接着便将下一道题。这种场景在高三很常见，因为要赶时间复习。问他数学的文化价值是什么，他说，是学生的思维能力，应用价值也是一个方面；高三复习只要会做题就行，不要搞花架子。
另一位教师，讲“二项式系数的性质及应用”时，将杨辉三角形写在黑板上后，说：“这就是著名的杨辉三角形，它比西方的帕斯卡三角形早了300多年。”接着便让学生探究其规律。同样问他怎样在数学课堂中渗透数学的文化价值，他说他就是在渗透数学的文化价值。
数学有两种品格，一个是工具品格，另一个是文化品格。当今数学教育，多能体现出工具品格，学生也总爱问，学数学有什么用。但这正是急功近利与物质化的弊病。孰不知数学史上有作为的数学家，是用灵魂去发现真理。数学是用以陶冶情操、锻炼思维、提升一个人的综合素质。数学更是精神层次的学问。这也正是为什么西点军校的学员除了学习运筹学、优化技术、可靠性方法等数学学科，还要学习高深的数学课。而英国律师在大学里也要学习多门高等数学。严谨、求真的态度，敏捷的思维，良好积极的心态，稳重的做事风格，和随机应变的能力，持之以恒与不懈奋斗的精神品质，都是可以由数学提供的。而当今数学教育者，或是根本没有了解数学文化价值的深层含义，或是迫于紧张的教学时间的压力与外界的限制，大部分都无法真正的传承数学在历史长河中的精神积淀。像上文所举二例，用简单的一两句话介绍某个数学发展阶段，或者干脆不讲数学发展，不把数学史与教材结合，不挖掘各时期间数学形态的内部联系，只会让学生感到形式单一、枯燥无味，而且缺乏系统性、实践性。
文化渗透除了本身就是数学的灵魂、精髓以外，对数学学习者的数学学习兴趣起到重要培育作用，对其学习热情、主动性起到鼓舞作用。在实例与数学故事的基础上，通过对数学史、数学方法论、数学思想的学习，可以使学生的数学功底更为深厚，树立起学数学的自信心。尤其是从浅显易懂中发现深刻道理的教学过程，完全比做偏、难、怪的题目效能大、效果好、效率高。数学的魅力，不是靠难倒人、应用性强来体现的。除非非要强调其工具品格，非要去用它的肉体解决问题，甚至用它的肉体去谋求物质利益，我们可以适当降低数学题目的难度（并不是降低知识深度），提高其数学内涵。当然，还有许多数学题目具有很高的价值，但难度很大。这便是过少的教学时间与高难度高价值题目的冲突。虽然一般难度的数学题更适合大多数人，且完全能起到很大的数学培养作用，可是高难度高价值题目不少也是数学精神的载体。这便要求客观上增加教学时间，减少那些如中、高考前的重复复习，这种减少不仅可以使教师有更多时间仔细讲解难题，还提高学习知识的牢固性，在学习中医代替原先复习的作用。知识都是相连的，任何人都可以、更是有权利学会有价值的、真正的难题，由浅入深是学习的本真过程。实际上，为学习数学、研究数学奋斗的人，都是数学的强者。他们以具有高超的数学技艺与美好的品德。其实任何事都是这样，做事时，失败的积分远大于成功与辉煌！
说到难题，我们又来到下一话题——补充讲学。曾经在学概率时，讲到“投针试验”。教科书上只是强调概率操作时的试验方法，将统计与概率相关联。而老师在给我们讲课时，还给我们讲到了这一概率公式的证明。老师确实抽出一整节课，对该公式进行论证，并且不厌其烦地多次换角度讲解，给出了足够的学生消化时间，尽可能地让同学明白。对于其中的一个定理，由于其深度，直接引用，使学生不被困难吓倒，很是恰到好处。但是讲课时我们已是初三，但老师依然保证补充讲学这一重要的联系拓广方式的进行。此外，该节内容中，课后题讲到“随便说出三个正数，试验估计以之围成钝角三角形的概率。”老师又是从严谨求解的角度教学，先对其给予知识补充上的启示，再将这一问题的求解留成思考作业，并且适当减少其它数学作业，给学生以足够时间和空间思考。另外，老师将期末平时成绩的满分赋予此题，这又是一种奖励机制。几天后上课，又是细致地、深入地讲解，并贯穿着学生的发言，使圆的方程、几何概率甚至解斜三角形的相关知识有选择的全面融于此题中，江浙到很有难度的题分块被攻克。对此题有深入研究的同学，也获得了满分。
同样是由法国数学家Buffon最早设计的“投针试验”，在某校高三一节数学课的“课前3分钟数学史话”上，一位学生与老师、同学分享了此故事。老师见大家对此兴趣盎然，便放下原先准备的复习内容，探讨此问题。在师生共同的讨论中，又有同学提出相关的问题、猜想。“投针试验”是一种试验估计圆周率的方法，同学们有人提出他们测圆周率的预计方法。老师从共同探究与引导的角度对同学的方案进行分析，最终在大家循序渐进的研讨中，一个同学提出了正确的方法，老师予以鼓励，还以该同学的名字命名这一方法和所测圆周率。这位教师引导、启迪、教学相长的授课方式，和善于发现学生长处并及时鼓励、抓住学生学习兴趣与灵感的教学能力，对于日常课本讲学，也是难能可贵的品质。
其实，补充讲学知识相对于该学习阶段课程要求、标准和教学大纲而言。补充内容对学生能力提高层次档次超过课标，但实际上对学生解决该阶段问题益处非常大。人站得更高，看得更广远，看到的困难也更小，更有实力、有信心解决现阶段问题。另一方面，对于同日后数学学习的铺垫、衔接，也是不可或缺的一项，甚至对日后数学的学习降低难度。例如有些高中再将微积分时，对课标以外的微分、定积分、不定积分讲解以达到高等数学的水平。像Lagrange中值定理、Cauchy中值定理也讲解很多、很细。当这些学校的学生在大学学习非专业高等数学时，会觉得十分轻松，甚至上课时自己把讲的内容快速浏览一遍，做几道题，就睡觉，都可以取得不错的成绩。
在补充讲学方面与数学价值方面，奥数与数学竞赛也应一提。值得肯定，小学奥数和中学数学竞赛，对数学知识的扩充、思维的开发益处不小。但是，小学奥数中不乏呆板、生搬硬套的成份。如该用方程的非用处罚逆推，虽然这里有逆向思维的特点，但教师并没有讲解逆向思维原理、方法。而小学奥数更是小升初时“升学中介单位”——奥数班的暴利融资方式，单凭小学奥数书的种类多、销量大就可以说明。而中学数学竞赛及其他各类学科的竞赛，与小学奥数类似，都是为了上重点学校而孕育的人为工具。“上重点”“热潮”使“奥数”、“特长生”、“走后门”、“高额借读费”、“择校费”等等已经耳熟能详。在成年人钱权利益之下的“数学”，本来起促进作用和发掘数学潜能的数学竞赛，好比被蹂躏的乌鸦，可怜而恶心。数学的高尚已被人为地、粗鲁地诬蔑、践踏；其对智慧、思维的启迪作用被误认为成划分人智商高低、决定学生数学好坏的标准。这对未成年人数学兴趣培养、价值观、世界观尤其是对数学的认识的建立，对学习、成长的信心，不仅误导，更是迫害。就算是高中数学竞赛的全国一等奖获得者，也不得不承认数学竞赛是用于被北大、清华自主招生录取，他们到了大学几乎没有人学与数学有关的专业。奥数是一个与股票类似的东西。在高额投资下，可能会猛赚一把，但更有不少人甚至血本无归。尤其是在“奥数危机”的今天。
总的来说，数学的学习极其需要教育者重视其文化品格，了解数学的真谛，适当有效地补充讲学，更重要的是鼓舞受教育者的自信心。也需要教育机构、单位从更深远的角度看问题，为国家和它的未来着想。我并不指望他们能用心感知数学，哪怕他们能为更大的利益耐住物欲就很好。数学的文化及数学教学，太值得浮躁的当代人思考，从教育者，政府，到每一个愿意认识世界，把握未来的人。
