两类平几题的辅助圆解（证）法

浏览：563 来源：广深家教信息网日期：2009-10-02

添加辅助线是解决初等几何问题的重要手段之一，同时也往往是解题的关键之所在。以点、线段和直线等作为辅助线是大家最熟悉和最常用的，至于以圆或圆弧作为辅助线则少见。本文专门谈以圆作为辅助线（称为辅助圆）的两类平几问题。

一、共端点的等线段问题，常作以公共端点为圆心，等长线段为半径的确圆，则易沟通题设和结论的联系，使问题迅速获解。

例1 已知四边形ABCD中，AB//CD，AB=AC=AD=5，BC=

解：以A为圆心、AB为半径画圆，则B、C、D三点在⊙A上.

延长BA交⊙A 于E，连结DE.


因BE是⊙A的直径T∠EDB=900且BE=2AB=10.

例2 （上海1984年初中数学竞赛题）如图，AB=AC=AD，∠DAC是∠CAB的K倍，则∠DBC是∠BDC的（）倍.

（A）K倍；（B）2K倍；（C）3K倍；（D）都不对.

解：以A为圆心，AB为半径画圆，则B、C、D三点在⊙A上.

由圆周角定理可得 . 所以答案是（A）.

例3 如图，AB=AC=AD=BC，AH⊥CD，CP⊥BC.

证明：以A为圆心AB为半径作⊙A，则B、C、D都在⊙A上，且

∴ ∠BDC=∠ACP.

∴△BDC∽△ACP. ∴BC：AP=BD：AC. ∴BC2 =AP·BD.

二、共顶点的等角问题，常作以公共顶点为一个顶点的三角形的外接圆，从而使等角与辅助圆中有关角的性质建立起联系，从而使问题获得简捷的解决。

例4 △ABC中，∠A的外角平分线交BC的延长线于D.

证明：作△ACD的外接圆交BA的延长线于F.

连结FD，则DC=DF.

∵∠ACB=∠DFB，∠B=∠B，∴△ABC ∽△DBF

例5 证明任何三角形三个内角的平分线的连乘积必小于三边的连乘积.

证明：设a、b、c及ta、tb、tc为△ABC的三条边及三条角平分线。作△ABC的外接圆交∠A的平分线AD的延长线于E，连EC，则△EAC∽△BAD

同理 ac>tb2,ab>ta2.

∴a2b2c2>ta2tb2tc2,即abc>tatbtc.

例6 自△ABC的顶点A引两条射线交BC于D、E，使∠BAD=∠CAE.

（上海市1986年初中数学竞赛题）

证明：作△ADE的外接圆交AB于F，交AC于H，连FH、则

∴FH∥BC.

显然，当E重合于D时，有

这就是三角形内角平分线性质定理；当BD=CE时,有BE=CD，从而有

这就是1986年全国初中数学竞赛题

例7 在△ABC中，∠C=3∠A，a=27,c=48,求b（第36届美国中学生数学竞赛题）。

解：作∠ACD=∠BCE=∠BAC交△ABC的外接圆于D、E，连AD、DE、EB、DB，则AD=DE=EB=BC=27，DC=AB=48.

设DB=CE=x，则在四边形DEBC中，由托勒密定理，有

在四边形ADBC中，由DB·AC+AD·BC=AB·DC得

上一篇：几个平几定理的另证

下一篇：用三角形等周定理证一竞赛题

扫一扫，微信咨询

家教服务热线请优秀家教老师，从一个电话开始…
您身边本地的家教网，更了解深圳的老师和孩子

0755-22183907

13632816488

广深家教APP下载

公司简介

更多介绍

　　深圳广深家教网隶属深圳天元北极星文化发展有限公司旗下一家专业的深圳家教网站。本站成立于2009年，已经十五年历史，是深圳上门家教知名品牌。本站专注深圳上门家教，服务深圳六大区，提供深圳近百所学校优秀深圳上门家教老师及985、211院校毕业的优秀大学生；所安排的每一位深圳上门家教老师，均必须经过深圳家教网站工作人员严格认证和考核，确保教学质量，在深圳家教业界享有良好的声誉和口碑。找深圳罗湖上门家教老师、福田上门家教老师、龙岗上门家教老师、南山上门家教老师、宝安上门家教老师等可直接致电本站，24小时安排到家。