对一道竞赛题解法的商榷

题目 求满足下述条件的最小正整数n，对于这个n，有唯一的正整数K，满足 （第五届美国数学邀请赛题）

不少初等数学的书刊上都曾对本题给出过解答，多数的解法是：

因为n、k均为正整数，故只需满足：

所以满足条件的n=112。上面解法的推理不严密，只说明n=112时，存在唯一的正整数K使原不等式成立，并不能说明K值唯一存在时，112是的n最小值。事实上，若将不等式(1)进一步变为

要使正整数K的值唯一存在，必须且只需区间

所以1≤n≤112，n的最大值是112（这时k=97）.用枚举法对n从1开始试算，易知n最小是15时，(2)式中的k有唯一的值13.