函数是数学中最重要的概念之一,函数的应用就是用运动和变化的观点来研究具体问题中的数量关系,然后通过函数的形式把这种关系表示出来,再运用函数的有关性质和知识及数学方法来加以解决。
【考点考法分析】
1、了解变量、自变量、因变量的概念，能结合变量之间的关系、图像对简单的实际问题中的函数关系进行分析。
2、认识并能画出平面直角坐标系，在直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。
3、了解平面直角坐标系中各个位置上点的坐标特点，会求一个点关于坐标轴和原点的对称点。
4、能够用极坐标和直角坐标确定物体的位置。
5、理解函数的概念和函数的表示法，能确定简单的分式、整式、根式及简单实际问题中函数的自变量的取值范围，并会求出函数值。
6、熟练掌握一次函数、反比例函数和二次函数的性质，并用其解决简单的实际问题。
本单元重点考查函数思想和数形结合的思想，学生的阅读理解能力，收集处理信息的能力以及综合应用知识解决实际问题的能力。
【复习策略:】
打好“常规”基础,抓住“常规”题型,适当拓宽“新题”；强化在文字语言的描述中寻找数量关系的训练,注意图、表信息的提取、数形结合的运用；注重实际检验。
【知识归纳梳理】
1、 平面内点的坐标的特点
⑴各象限内的点的特征，如图：
⑵坐标轴上点的坐标的特征：
点P（x,y）在x轴上 y＝0，x为任意数；
点P（x,y）在y轴上 x＝0，y为任意数；
点P（x,y）既在原点 x、y同时为0、即点P（0,0）。
⑶对称点的坐标特征：
点P与点P1关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标相反；
点P与点P1关于y轴对称 横坐标相反，纵坐标相等；
点P与点P1关于原点对称 横坐标和纵坐标都相反。
⑷点与原点、点与坐标轴的距离
P（a,b）与原点的距离为 ；P（a,b）到x轴的距离为∣b∣，到y轴的距离为∣a∣。
⑸平面直角坐标系内图形的平移与图形上的点的坐标的变化的关系：设（a＞0,b＞0）
图形向上（或向下）平移a个单位长度 图形上的点的横坐标不变，纵坐标加（或减）a；
图形向左（或向右）平移a个单位长度 图形上的点的纵坐标不变，横坐标减（或加）a；
2、一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图像和性质
⑴当b＝0，即为正比例函数y＝kx（k≠0）时：
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k的符号 |
k＞0 |
k＜0 |
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图像的大致位置 |
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经过象限 |
第一、三象限 |
第二、四象限 |
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性质 |
Y随x的增大而增大 |
Y随x的增大而减小 |
（2）当b≠0时：
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k、b的符号 |
k＞0
b＞0 |
k＞0
b＜0 |
k＜0
b＞0 |
k＜0
b＜0 |
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图像的大致位置 |
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经过象限 |
第一、二、三象限 |
第一、三、四象限 |
第一、二、四象限 |
第二、三、四象限 |
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性质 |
Y随x的增大而增大 |
Y随x的增大而增大 |
Y随x的增大而减小 |
Y随x的增大而减小 |
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5、反比例函数 （k≠0）的图像和性质
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k的符号 |
k＞0 |
k＜0 |
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图像的大致位置 |
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经过象限 |
第一、三象限 |
第二、四象限 |
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性质 |
在每一象限内Y随x的增大而减小 |
在每一象限内Y随x的增大而增大 |
6、二次函数的定义：如果y=ax +bx+c(a、b、c为常数，a 0),那么y叫做x的二次函数。
7、二次函数的图像：二次函数y=ax +bx+c ( a 0 ) 的图像是一条抛物线
8、二次函数的性质：
(1)抛物线y=ax +bx+c的顶点是（- ， ）；对称轴是x=- .
(2)挡a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x值的增大而减小，，在对称轴的右侧y随x值的增大而增大；a＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x值的增大而增大，，在对称轴的右侧y随x值的增大而减小。
(3)当a＞0，x=- 时，y有最小值 ；当a＜0，x=- 时，y有最大值 。
(4)特殊抛物线的性质
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抛物线 |
开口方向 |
对称轴 |
顶点坐标 |
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a＞0 |
a＜0 |
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y=ax |
向上 |
向下 |
X=0 |
(0,0) |
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y=ax +c |
向上 |
向下 |
X=0 |
(0,c) |
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y=a(x-h) |
向上 |
向下 |
X=h |
(h,0) |
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y=a(x-h) +k |
向上 |
向下 |
X=h |
(h,k) |
9、抛物线解析式的三种形式：
(1)一般形式：y=ax +bx+c (a、b、c为常数，a 0)
(2)顶点式：y=a(x-h) +k (a 0),其中h、k为抛物线的顶点的横、纵坐标。
(3)交点式：y=a(x-x )(x-x ) (a 0),其中x 、x 为抛物线与x轴交点的横坐标。
10、二次函数的图像的画法————五点法
顶点 与x轴的交点 与 y轴的交点及它的对称点
11、二次函数的图像位置与a，b，c， 的关系
(1) a的正负决定抛物线的开口方向，挡a＞0时，抛物线开口向上；a＜0时，抛物线开口向下；|a|的大小决定抛物线的开口大小，|a|越大，抛物线开口越小，反之越大。
(2) b=0时，抛物线的对称轴为y轴，若a、b同号，对称轴在y轴的左侧，若a、b异号，对称轴在y轴的右侧，即“左同右异”。
(3) 抛物线与y轴的交点为(0,c)，当c=0时，抛物线过原点，当c＞0时，抛物线与y轴的正半轴相交，当c＜0时，抛物线与y轴的负半轴相交。
⑷ 决定抛物线与x轴的交点个数，当 ＞0时，抛物线与x轴有两个交点；当 ＜0时，抛物线与x轴有一个交点；当 =0时，抛物线与x轴没有交点。
13、已知函数关系式，判断点是否在函数图像上的方法：
点P（x,y）的坐标适合函数关系式 点P（x,y）在函数图像上；
点P（x,y）的坐标不适合函数关系式 点P（x,y）不在函数图像上。
14、用函数关系式确定函数关系式的方法：
⑴由题意设出函数关系式
⑵根据图像过已知点或通过别的途径高速的自变量与因变量的对应关系列出关于待定系数的方成（组）
⑶解关于待定系数的方程（组），求出待定系数
⑷将求出的待定条件代回到原来设的关系式中即可求出。需要条件：
正比例函数的表达式y＝kx（k≠0），需要一个独立条件。
一次函数的表达式y＝kx＋b（k≠0），需要两个独立条件。
反比例函数的表达式 （k≠0），需要一个独立条件。
二次函数的一般形式：y=ax +bx+c (a、b、c为常数，a 0)，需要三个独立条件。
二次函数的顶点式：y=a(x-h) +k (a 0),其中h、k为抛物线的顶点的横、纵坐标，需要一个独立条件以及顶点坐标。
二次函数的交点式：y=a(x-x )(x-x ) (a 0),其中x 、x 为抛物线与x轴交点的横坐标，需要一个独立条件以及与x轴的交点坐标。
【典型例题及方法归纳】
例1、已知函数 是一次函数，求其解析式。
解：由一次函数定义知
，故一次函数的解析式为
注意：利用定义求一次函数 解析式时，要保证 。如本例中应保证
例2、已知 中，如果y是x的反比例函数，则m的值为_____________。
析解：由定义知 解得
由于 ，得 ，所以m的值为－1。
例3、已知 中，如果y是x的二次函数，则m的值为_____________。
析解：由定义知 解得
由于 ，得 ，所以m的值为2。
例4、 函数 与 在同一坐标系中的图象可能是（ ）
析解：由性质知，当 时， 的图象的两个分支分别在第一、三象限，此时 的图象必经过一、三象限，且与y轴交于原点的下方，故可排除B、D；当 时， 的图象的两个分支分别在第二、四角限，而 的图象必经过二、四象限，由此可排除C，故选A。
例5、如图，抛物线 经过点A（1，0）与y轴交于点B
（1） 求抛物线的关系式；
（2） P是y轴正半轴上的一点，且△PAB是以AB
（3） 为腰的等腰三角形，试求P点的坐标。
分析：（1）把A（1，0）代入 中即可
求出抛物线的关系式；
（2）P点的位置根据线段AB的长确定。
解：（1）∵A（1，0）在抛物线 上
∴ =0, ∴n＝-4
∴抛物线的关系式为
（2）由（1）知，抛物线与y轴交点坐标为（0，-4），连接AB，则AB= =
∵△PAB是等腰三角形，P是y轴正半轴上的一点
①当AB=AP时，∵OA⊥BP ∴OP=OB ∴P点的坐标为（0，4）
②当AB=BP时，∵AB= ， ∴ BP= ∴ OP=BP-OB= -4 ∴P点的坐标为（0， -4）
∴P点的坐标为（0，4）或（0， -4）
点拨：满足条件的P点有两个，不能只求出一个。
例6、A区某镇地理环境偏僻,严重制约经济发展,丰富的花木产品只能在本地销售,A区政府对该花木产品每投资x万元,所获利润为P=-(x-30)2+10万元.为了响应我国西部大开发的宏伟政策,A区政府在制定经济发展的10年规划时,拟开发此花木产品,开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元,若开发该产品,在前5年中,必须每年从专项资金中拿出25万元,投资修建一条公路,且5年才能修通,公路修通后, 花木产品除在本地销售外,还可运往外地销售,运往外地销售的花木产品,每投资x万元可获利润Q=-(50-x)2+(50-x)+308万元.
(1) 若不进行开发,求10年所获利润的最大值是多少?
(2) 若按此规划进行开发, 求10年所获利润的最大值是多少?
(3) 根据(1)(2)的计算结果,请你用一句话谈谈你的想法.
:运用二次函数的性质是解答此题的关键.
解:(1)若不开发此产品,按照原来的投资方式,
由P=-(X-30)2+10知,
只需从50万元专项资金中拿出30万元投资,每年即可获得最大利润10万元,则10年的最大利润为M1=10×10=100万元.
(2)若对该花木产品进行开发,在前5年中,当x=25时,
每年最大利润是:P=-(25-30)2+10=9.5万元.
则前5年中的最大利润为M2=9.5×5=47.5万元
设后5年中的x万元是用于本地销售投资.
则由Q=-(50-x)2+(50-x)+308知,
将余下的(50-x)万元全部用于外地销售的投资,才有可能获得最大利润.
则后5年的利润是:
M3= ×5+(-x2+x+308)×5
即M3=-5(x-20)2+3500
故当x=20时, M3取最大值为3500万元.
所以,10年的最大利润为:M=M2+M3=47.5+3500=3547.5万元
（3）此题答案不唯一,例如:
因为3547.5>100,由（1）、（2）的结果可知：该项目有极大的开发价值.
点拨:新的课程标准的理念,重视从实际的问题情境中抽象出数学模型,重视数学问题的解决,增强学生学数学,用数学的意识,此类题目叙述的文字往往较长,因而认真阅读,审题,明确题目的条件和所有待解决的问题非常重要.
例7、有100m长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600m .在场地的北面有一堵长50m的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40m,宽10m的仓库，但面积只有40 10=400 m 不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？
：根据题意，矩形的周长为100m，面积不小于600 m ，如果设矩形的宽为xm，则长为 =(50-x)m,面积S=x.(50-x).因为面积不小于600 m ，那么就可能为S=600或S>600,当S=600时,可列出方程x(50-x)=600,这就得出了适合条件的一组方案,若面积超过600 m ,则应考虑求S的最大值;还应考虑到已知条件中北面有一堵长50m的旧围墙,这个条件用上去会有什么样的结果呢?
如图,假设矩形的 长与旧墙平行,取矩形的一边为旧墙,设矩形的宽为xm,则矩形的长为(100-2x)m,面积为600,这也是一种方案.
解:设矩形的宽为xm,则长为(50-x)m,于是面积为S=x(50-x) m
若S恰为600 m 时,则x(50-x)=600
解此方程得x1=20,x2=30
则长为30m或20m,故取矩形长为30m,宽为20m符合设计方案的要求,
由S=x.(50-x)=-x +50x
∴当矩形的长和宽都为25m时,面积可达到625 m .显然比前一方案更好.同时也可以看出其设计方案有无数种.
若利用场地北面的一堵旧墙,取矩形的长与旧墙平行,以旧墙做一边,设矩形的宽为xm,则S=x(100-2x)
因为墙长为50m, ∴100-2x 50,即x 25
若 S=600,即x(100-2x)=600
解得x1=25+5 ,x =25-5
由于x 25， ∴x=25+5
即如果利用旧墙，，取矩形宽为（25+5 ）m，也是满足要求的一种设计方案
但由于S=x(100-2x)=-2x +100x
∴若取矩形的长为50m,宽为25m,则面积的最大值为1250m ,同样S大于600 m 的设计方案也有无数种。
综上所述，无论利用旧围墙与否，都可使面积分别达到最大，即625 m 和1250m 。
点拨：此题是一道与方程和函数有关的综合开放型问题，应从方程和函数角度分析求解；用自变量表示图象的各相关的量时，应考虑自变量的取值范围，同时求解后应注意检验。
【实战演练】
一、填空题
1、若关于x的函数 是一次函数，则m= ，n= 。
2、正比例函数 ，当m 时，y随x的增大而增大.
3、若函数 图象经过点（1，2），则m= 。
4、已知函数 ，当 时，函数图象在第四象限。
5、请你写出一个反比例函数的解析式，使它的图象在第一、三象限：
6、若双曲线经过点A（a，-2a），则a的值为
7、已知 是反比例函数，则m=
8、老师给出了一个函数，甲、乙各指出了这个函数的一个性质：甲：它的图象在第一、三象限；乙：在每个象限内，y随x的增大而减小。请你写一个满足上述性质的函数
9、下列函数中：①y=－x2；②y=2x；③y=22+x2－x3；④m=3－t－t2是二次函数的是______(其中x、t为自变量)
10、函数y= 是二次函数，当a=_____时，其图像开口向上；当a=_____时，其图像开口向下.
11、已知抛物线 ，请回答以下问题：
⑴ 它的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ；
⑵ 图像与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 。
12、顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 ．
13、二次函数 的值永远为负值的条件是 0， 0．
14、如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图像与两坐标轴分别交于A（－1，0）、点B（3，0）和点C（0，－3），一次函数的图像与抛物线交于B、C两点。
⑴二次函数的解析式为 ．
⑵当自变量 时，两函数的函数值都随 增大而增大．
⑶当自变量 时，一次函数值大于二次函数值。
⑷当自变量 时，两函数的函数值的积小于0
15、已知抛物线 与 轴交于点A，与 轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，则 = ， = ．
二、选择题
1、函数是研究 ( )
A．常量之间的对应关系的 B．常量与变量之间的对应关系的
C．变量与常量之间对应关系的 Ｄ．变量之间的对应关系的
2、下列给出的四个点中，不在直线y=2x-3上的是 （ ）
A.（1， -1） B.（0， -3） C.（2， 1） D.（-1，5）
3、函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）
A. B. C. D.
4、若 与－3 成反比例， 与 成正比例，则 是 的 （ ）
A 正比例函数 B 反比例函数 C 一次函数 D 不能确定
5、函数 的图象经过点（－4，6），则下列各点中不在 图象上的是 （ ）
A （3，8） B （3，－8） C （－8，－3） D （－4，－6）
6、如图，A为反比例函数 图象上一点，AB垂直 轴于B点，若
S△AOB＝3，则 的值为 （ ）
A、6 B、3 C、 D、不能确定
7、反比例函数 的图象在一、三象限，那么 的大致图象为 （ ）
8、函数y=ax2(a≠0)的图像与a的符号有关的是（ ）
A 顶点坐标 B 开口方向
C 开口大小 D 对称轴
9、函数y= x2+2x+1写成y=a(x－h)2+k的形式是（ ）
A y= (x－1)2+2 B y= (x－1)2+
C y= (x－1)2－3 D y= (x+2)2－1
三、解答题
1、已知直线 .
(1) 求已知直线与y轴的交点A的坐标;
(2) 若直线 与已知直线关于y轴对称，求k与b的值.
2、如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像
相交于A、B两点，
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式
（2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值
的 的取值范围
3、已知一次函数 和反比例函数 （ ≠0）
（1） 满足什么条件时这两个函数在同一坐标系xoy中图象有两个公共交点。
（2）设（1）中的两个公共点为A，B，则∠AOB是锐角还是钝角。
4、函数 ( ≠0)与直线 的图象交于点( ， )．
求：(1) 和 的值；
(2)求抛物线 的开口方向、对称轴、顶点坐标；(3)作 的草图．
5、已知，如图，直线 经过 和 两点，它与抛物线 在第一象限内相交于点P，又知 的面积为 ，求 的值；
6、某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
7、某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用780元，其中，纯净水的销售价x(元/桶)与年购买总量y (桶)之间满足如图所示关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a 为120时，请你根据提供的信息分析一下：
该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？
（3）当
a至少为多少时, 该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，你有何感想（不超过30字）？
8、如图，L1表示某机床公司一天的销售收入与机床销售量的关系，L2表示该公司
一天的销售成本与机床销售量的关系。
（1）x=1时，销售收入= 万元，销售成本= 万元，
利润（收入—成本）= 万元。
（2）一天销售 件时，销售收入等于销售成本。
（3）L1对应的函数表达式是 。
（4）你能写出利润与销售量之间的函数表达式吗？
9、商场出售一批进价为2元的贺卡，在营销中发现此商品的日销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系：
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X∕元 |
3 |
4 |
5 |
6 |
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y∕个 |
20 |
15 |
12 |
10 |
（1） 根据表中的数据在直角坐标系中描出实数对（x，y）的对应点；
（2） 猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出函数图象；
设经营此贺卡的销售利润为w元，试求w与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售单价最高不能超过10元∕个，请你求出日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润。
10、某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套。经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出。在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）20元。设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益＝租金收入－支出费用）为y（元）。
（1）用含x的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出费
（2）求y与x之间的二次函数关系式；
（3）当月租金分别为300元和350元式，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由；
（4）请把（2）中所求出的二次函数配方成 的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？
